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  • 机率法则 (Principle of Probability

    2020-07-17


    连结:机率法则 (Principle of Probability) (一)

    1993年美国奥克拉荷马州突沙市 (Tulsa, Oklahoma) 法庭根据DNA鉴定报告等相关证物,判决提摩西‧杜朗犯下强暴与强盗罪。即便有十一个证人作证在案发时,提摩西正在达拉斯州参加飞靶射击比赛,但是犯罪现场採得的DNA却与提摩西的DNA吻合,在这项强力的证据下,求处刑期3200年。

    究竟DNA鉴定比对的準确率有多高?高达 $$999,999/1,000,000$$ !随便一个人的DNA与犯罪现场的採样相同的机率小于百万分之一,甚至是亿万分之一,相同的可能性可以说是微乎其微。

    不过,在1997年,即提摩西被关了三年半之后,再度重新检验证据发现,实验室在一开始进行DNA分析时,没有将犯人与被害人的DNA完全分离出来,而混合型的DNA与杜朗单一的DNA相符,造成错误解读。所以,杜朗获得无罪释放。

    我们也很难怪罪陪审员的错误判决造成将近四年的冤狱,因为许多实验室或法庭从未特别注意实验错误的统计数据,其错误机率,虽估计不一,许多专家认为是1%。假设DNA比对凑巧相同的机率是亿万分之一、实验室错误的机率是百分之一,那幺,整体的出错率应该介在百分之一和亿万分之一之间吗?

    假设 $$A$$ 表示DNA比对凑巧相同的事件、$$B$$ 表示实验室发生人为错误的事件,机率法则告诉我们,至少发生其中一种错误的机率是:

    $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

    上式中,相较于百分之一的实验室出错率,亿万分之一的DNA机率值太小反而可以不计。因此,除了採信DNA证据,实验室出错率等其他统计数据也显得相当重要。诚然,法庭上DNA的正确性一再被强调,但若能运用机率法则适当论证,就更能接近隐藏的真理。

    最后,关于机率值的计算,也需要注意条件中的细节,这正是我们要介绍的第三个法则。所谓的独立事件 ( independent event ),是指某一事件发生的机率不会因为另一事件的发生与否而受到影响。

    例如:某航空公司有甲、乙两位订位旅客尚未报到,根据经验,一位订位旅客会来报到的机率是五分之四,假设 $$A$$ 表示甲会来报到的事件、$$B$$ 表示乙会来报到的事件,那幺两人都会来报到的机率是:

    $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=4/5\times 4/5=16/25$$

    上式中,其实假设了两位旅客是独立的,但如果他们是一起出门的夫妻,这时两人同时来报到的机率是:

    $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=4/5\times 1=4/5$$

    至于互斥事件 ( mutually exclusive ) 是指两个事件的交集是空集合,再以航空公司为例,甲乙两位旅客报到的可能结果为:

    甲乙两人都来报到,机率为 $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=4/5\times 4/5=16/25$$;

    甲有来报到但乙没来,机率为 $$P(A\cap B’)=P(A)\cdot P(B’)=4/5\times 1/5=4/25$$;

    甲没来报到但乙有来,机率 $$P(A’\cap B)=P(A’)\cdot P(B)=1/5\times 4/5=4/25$$;

    甲乙两人都没来报到,机率 $$P(A’\cap B’)=P(A’)\cdot P(B’)=1/5\times 1/5=1/25$$。

    这四个不同的可能结果,两两互斥,机率总和为1。如果航班只剩下一个空位,但却有两人已订位,则地勤人员心里估算恰好一位旅客报到的机率是

     $$P(A\cap B’)+P(A’\cap B)=4/25+4/25=8/25$$

    究竟机率的计算何时用加法?何时用乘法?其实,分别正是排列组合计数问题所使用的「加法原理」与「乘法原理」的精神,前者将所有可能的结果清清楚楚的分类,两两之间没有模糊地带,没有交集;而后者则是按步骤逐一考虑来完成整个事件。

    参考资料:

    曼罗迪诺着、胡守仁译(2012),《醉汉走路-机率如何左右你我的命运和机会》,台北:天下远见出版社。Thompson, W.C., Taroni, F & Aitken, C.G. (Jan. 2003),“How the probability of a false positive affects the value of DNA evidence” Journal of Forensic Sciences, Vol. 48, No. 1http://www.innocenceproject.org/Content/Timothy_Durham.php


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