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  • 机率论源于赌博吗-

    2020-07-17


    「一门开始于研究赌博的科学,竟然成为人类知识中最重要的学科,这无疑是令人惊讶的事情。」 ── 拉普拉斯

    历史上,机率理论的起源之一为赌博问题,讨论如何在骰子或纸牌游戏中订立公平的赌注。十六世纪义大利的医师兼数学家卡丹诺 ( Gerolamo Cardano, 1501-1576 )在其着作《机遇赛局之书》( Book on Games of Chance ) 中写到︰

    机率论源于赌博吗?

    卡丹诺

    我认为自己能胜任赌博的研究有两个理由。首先考虑到它有用的特性,因为它是有用的,所以必须对它的用处做一种有系统的研究。即使一般人认为赌博是一种罪恶,但想到有这幺多人在赌博,它似乎就成了与生俱来的原罪。就算只为了这个理由,也应该好好研究,就像医生讨论那些无可救药的疾病。第二,很多哲人都有一种习惯,为了解救深陷罪恶的人,自己深入其中去了解它。例如心理学家研究愤怒一样。

    在卡丹诺之前关于骰子的讨论,十三世纪诗歌〈维图拉〉(De Vetula )中记述 $$3$$ 枚骰子可以掷出 $$56$$ 种结果的列表(参见表)。但是,$$56$$ 种是组合数而不是排列数,无法计算出游戏胜率。卡丹诺在其着作中正确统计出 $$2$$ 枚或 $$3$$ 枚骰子能掷出的结果,例如:投掷 $$3$$ 枚骰子至少出现一个 $$1$$ 点的机会是 $$216$$ 次中的 $$91$$ 次。同时机会均等的概念开始被理解,他在着作中写到:「当投掷一颗公正骰子时,我能够打赌出现 $$1,3,5$$ 的次数会和出现 $$2,4,6$$时一样多。」

    机率论源于赌博吗?

    当时义大利流传一题骰子问题:

    一对骰子允许掷多少次才能使得出现两个 $$6$$ 点的机会达到 $$50\%$$?

    卡丹诺的观点是每 $$36$$ 次就有 $$1$$ 次机会掷出两个 $$6$$ 点,所以平均起来每掷 $$36$$ 次这样的结果就会出现一次。因此 $$18$$ 次的投掷中,出现两个 $$6$$ 点的机会会达到 $$50\%$$;在处理一枚骰子的情形时,他又做了同样的推论,$$3$$ 次投掷中出现 $$6$$ 点的机会会达到 $$50\%$$。然而,卡丹诺却没有意识到这是错误的推论。

    十五、十六世纪除了骰子问题,赌金分配的问题也引起巴乔里 (Fra Luca Pacioli, 1445-1509)、塔达利亚 (N. Fontana Tartaglia, 1499-1557) 等不少数学家的讨论。这些问题流传到了十七世纪,赌徒梅雷 ( Chevalier de Méré, 1607-1684 ) 向法国数学家巴斯卡(Blaise Pascal, 1623-1662)提出,题目如下:


    第一题︰

    把一颗骰子连掷四次,其中至少掷得一次六点即算胜了。这游戏对掷骰者来说是有利的,因为四次中至少掷得一次的机会是略大于1/2。但换了是掷三次,情形却相反,因为三次之中至少掷得一次六点的机会是小于1/2。现在把两颗骰子一起掷若干次,其中至少掷得一次两颗都是六点才算胜了,问至少要掷多少次才对掷骰者有利呢?

    第二题:

    甲乙两人比赛各出资32枚金币,规定必须要赢三局才能赢得赌金,但后来比赛因故终止,且胜局比为(1,0),问此时应如何分配赌金?

    这些问题引起巴斯卡的兴趣,1654年巴斯卡写信去问费马(Pierre de Fermat, 1601~1665),双方书信往来展开热烈讨论,两人各用不同的方法正确给出 $$11:5$$ 的赌金分配。

    机率论源于赌博吗?

    巴斯卡

    关于第一题,巴斯卡在给费马的信上写到:

    「那是关于一个数学上的难题,它困扰着梅雷先生。他是一位非常有才能的人,…,他告诉我他找出了数论上的一个错误,原因是这样子,如果把一颗骰子连掷四次,出到一次六点的优势是 $$671$$ 对 $$625$$。如果把两颗骰子连掷二十四次,出到一次两颗都是六点的机会却不再是优势了。然而,$$24$$ 比 $$36$$(指一次掷两颗骰子可能出现的结果的数目)是等于 $$4$$ 比 $$6$$(指一次掷一颗骰子可能出现的结果的数目)。这点谬误使他感到十分愤怒,甚至使他认为算术是相悖的理论!」

    机率论源于赌博吗?

    费马

    显然梅雷知道一颗骰子连掷四次至少出现一次 $$6$$ 点是有胜算,而两颗骰子连掷二十四次便不在有优势。但是 $$24$$ 比 $$36$$ 等于 $$4$$ 比 $$6$$ 让他感到困扰和不解,概念的迷思只好求助于巴斯卡来釐清。

    透过数学历史场景,我们看到巴斯卡的错误推论、「成比列」的误用以及梅雷的谬误质疑,在今日教学现场中,初学者也可能有同样的困惑。其次,虽然机率理论的起源之一为赌博问题,但是从梅雷的愤怒、巴斯卡和费马的书信讨论,展现了对数学知识的探求,而不仅是赌博而已。最后,引用法国数学家蒙谟(P.R. de Montmort, 1678-1719) 的一段话:

    「当我在写作此书时,脑子里想的是如何满足数学家的好奇,却不曾想到如何帮助赌徒赢钱。我认为那些浪费时间在赌博上的人,输光了也是活该!」


    参考文献



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