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  • 机率空间(1)机率论的诞生(Probability spac

    2020-07-17

    机率空间(1)机率论的诞生(Probability space-1. The birth of probability theory)

    摘要:这是一系列关于机率空间(probability space)文章的第一篇,概述十六、十七世纪机率论的诞生,并介绍费马与巴斯卡彼此通信时曾讨论的两个问题。

    对一任给的 $$3$$ 次方程式

    $$(1)~~~ax^3+bx^2+cx+d=0$$

    或是 $$4$$ 次方程式

    $$(2)~~~ax^4+bx^3+cx^2+ dx+e=0$$

    都可将其解表示出来,只是很複杂,不像 $$2$$ 次方程式 $$ax^2+bx+c=0$$ 其解的形式很筒单,虽是国中时学的,很多人直到大学都仍记得。

    $$(1)$$、$$(2)$$ 式的解,主要是 16 世纪,义大利的数学家卡尔达诺 (Gerolamo Cardano, 1501-1576,亦称 Cardan) 等人所导出。卡尔达诺不只对代数里方程式的解有贡献,他在机率方面,也是一位开路先锋。

    卡尔达诺在机率方面的主要成果,在他去世后 80 余年,于 1663 年才出版,书名为 Liber de Ludo Aleae (The Book on Games of Chance),距此书之完成至少是100年后。这本书,页数并不多,若能早一百年问世,便是科学上第一篇论文,而卡尔迪诺在机率史上的地位,将更重要。

    卡尔达诺的书生动活泼,可视为一赌徒手册。他以”相同的可能性” (equally likely) 来定义机率,虽书中主要是讨论拼列组合,但亦包含少许现代机率的概念。卡尔达诺算是第一位能驾驭一些基本机率规则的人。

    17 世纪又诞生了两位后来被视为组合机率 (combinatorial probability) 之父的数学家费马 ( Pierre de Fermat, 1601-1665) 及巴斯卡 (Blaise Pascal, 1623-1662,生日为6月19日),都是法国人。虽如前所述,卡尔达诺早他们二位一百年,在组合学方面就已有不少成就。但他的书毕竟于他在世时并没有出版。至少巴斯卡是没机会读到的。因此在古典机率 (classical probability) 的组合学方面,费马及巴斯卡,毫无疑义的,被公认为两个最早的专家。

    至于机率论诞生的始祖 (godfather),则被认为是一位叫梅雷 (Chevalier de M’er’e, 1570 -1666) 的法国贵族。他对赌博里的机率问题,不论实务上或理论方面,都深感兴趣。梅雷有时向年轻的巴斯卡提出一些机率上的问题,巴斯卡又写信去问费马。于是开始了1650 年代,巴斯卡及费马着名的通信。他们二位的通信,对日后机率理论的发展,可说深具影响。

    费马及巴斯卡两位,在数学里也是赫赫有名。费马最出名的当然就是他的费马最后定理 (Fermat’s last theorem)。即方程式 $$x^n+y^n=z^n$$,对任一整数 $$n\ge 3$$,$$x$$、$$y$$、$$z$$ 皆无非零整数解。巴斯卡则是因二项係数(binomial coefficients) 中,有所谓巴斯卡三角形 (Pascal’s triangle) 而出名。其实巴斯卡在数学里有一较不为人所知,但却是更大的贡献,即他引进了数学归纳法  (mathematical induction),此法直到 1838 年,才由狄莫根 (Augustus De Morgan, 1806-1871) 所命名并给出严密的定义,他并以此方法,来证明二项係数中的一些定理。

    在一封 1654 年巴斯卡致费马的信中,提到一个后来成为机率史上着名的问题:

    投掷一骰子 $$4$$ 次,较易有 $$6$$ 出现,机会是 $$671$$ 比 $$625$$。而投掷两个骰子 $$24$$ 次,两个 $$6$$ 却较不易出现,虽然 $$24$$ 比 $$36$$ (两个骰子共可能出现的面),等于 $$4$$ 比 $$6$$ (一个骰子有 $$6$$ 个面)。

    这就是梅雷诡论 (de M’er’e paradox)。今日只要学习过拼列组合的人,都能如下轻易地求出前述两事件之机率。

    首先,骰子应是指公正的骰子,即每一面出现的机率皆为 $$1/6$$。其次,各次投掷应皆假设为相互独立 (mutually independent),即出现的结果,彼此不受影响。又出现 $$6$$ 及两个 $$6$$,皆是指至少出现 $$1$$ 次。在这些假设下,对第一事件,每次 $$6$$ 不出现之机率为 $$5/6$$,投掷 $$4$$ 次,$$6$$ 皆不出现之机率为 $$(5/6)^4$$。因此至少出现 $$1$$ 次 $$6$$ 之机率为

    $$\displaystyle 1-(\frac{5}{6})^4=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}>\frac{1}{2}$$

    对第二事件,每次投掷不会出现两个 $$6$$ 之机率为 $$35/36$$,投掷 $$24$$ 次皆未出现两个 $$6$$ 之机率为 $$(35/36)^{24}$$。因此至少出现 $$1$$ 次两个 $$6$$ 之机率为

    $$\displaystyle 1-(\frac{35}{36})^{24}\approx 1-0.5086=0.4914<\frac{1}{2}$$

    由上述计算可看出,虽然 $$24:36=4:6$$,但这个比值相等,与此二事件之机率值是否会相等却不相干。

    我们再给另一有名的巴斯卡与费马曾经讨论过的问题。有 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 三人参加一赌局,假设每一回 $$3$$ 人皆各有 $$1/3$$ 的机率获胜,且各回间的结果相互独立。若 $$A$$ 胜一回,或 $$B$$、$$C$$ 中有一人累积胜了两回,则比赛结束并产生赢家。则三人是赢家的机率各为若干?

    读者不妨自行算算看,$$A$$、$$B$$、$$C$$ 三人赢的机率分别为 $$\frac{17}{27}$$、$$\frac{5}{27}$$ 及 $$\frac{5}{27}$$。

    匈牙利着名的机率学家雷尼  (Alfred R’enyi, 1921-1970),由巴斯卡与费马的通信得到灵感,于 1969 年出版了一本有意思的小书,书名为 Briefe uber die Wahrscheinlichkeit (Letters on Probability)。

    两位大数学家大费用章通信讨论的问题,以今日眼光来看,不过是拼列组合中很筒单的问题。铜板、骰子及扑克牌等,都是常见的赌戏。谁输谁赢与下注的那一事件发生的机率大小有关。

    而许多今日觉得很简单的事件之机率,当时都是难题。以一副 $$52$$ 张的扑克牌之梭哈 (show hand) 游戏为例  (每人发 $$5$$ 张牌)。将机率按小至大拼出(见黄文璋(2003)p.12) 为同花顺 (straight flush)、四条 (four of a kind)、一对与三条(full house)、同花 (flush)、顺(straight)、三条 (three of a kind)、两对(two pairs)、一对(one pair),及最大点 (high card 或称 no pair,即无对而比最大点)。不算一下,凭经验并不易完全拼对上述顺序。而这些机率值,显然不是一般赌徒所能求出的。在大英百科全书 (Encyclopedia Britannica) 里,说这是传统的顺序 (traditional ranking),而不是说可利用机率方法求出。说不定是玩梭哈者,经长期观察所获之心得。

    自 16、17 世纪以来,机率论中可说常在讨论前述这些今日称之为拼列组合的问题。这其中很多的技巧、公式,逐渐为数学家所熟悉。17世纪也是微积分诞生的时期,至20世纪初,数学中的几个主要领域,如代数、分析及几何等,早已发展的很深入了。对于机率论,数学家由17世纪一开始的处处是难题,转而认为机率论里并无太大的学问。有很长一段时期,主流数学家对机率论并无太大兴趣,机率论当然也不被视为是数学中一值得探勘的领域。

    连结:机率空间(2)机率的意义


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