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  • 机率空间(4)机率空间之例(Probability spac

    2020-07-17

    (4)之例(Probability space-4. Examples of probability space)

    连结:机率空间(3)机率空间

    摘要:延续上篇对机率空间的定义,这里举例讨论多种不同的机率空间。

    例1: 设 $$\Omega=\{$$正面、 反面$$\}$$, 则可产生那些 $$\sigma$$-体?

    解:只有 $$\{\varnothing, \Omega\}$$ ㄧ个。

    例2: 设 $$\Omega=\{1,2,3\}$$, 则可产生那些 $$\sigma$$-体?

    解:首先 $$\{\varnothing,\Omega\}$$,及 $$\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$$

    是两个最先能被写出的, 前者为最小, 后者为最大。

    其次一 $$\sigma$$-体,若包含 $$\{1\}$$, 必也包含其余集 $$\{2,3\}$$, 可检验 $$\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2,3\}\}$$ 为一$$\sigma$$-体。

    同理 $$\{\varnothing,\Omega,\{2\},\{1,3\}\}$$,及 $$\{\varnothing,\Omega,\{3\},\{1,2\}\}$$ 亦皆为$$\sigma$$-体。

    这 $$5$$ 个之外, 有没有其他的 $$\sigma$$-体呢?

    若包含 $$\{1\}$$ 及 $$\{2\}$$, 必包含联集 $$\{1,2\}$$,而余集 $$\{3\}$$ 也须在其中。

    有$$\{1\}$$, $$\{2\}$$ 及 $$\{3\}$$,就导致所有 $$\Omega$$ 的子集都须在其中了, 这就是前述最大 $$\sigma$$-体。

    所以没有其他的了, 共只有 $$5$$ 个由 $$\Omega$$ 所产生之 $$\sigma$$-体。

    例3:设 $$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$,已知一 $$\sigma$$-体中有一元素 $$\{1,2,3\}$$,试写出最小的这种 $$\sigma$$-体。

    解: 由于有 $$\{1,2,3\}$$, 因此余集 $$\{4,5,6\}$$ 亦须在其中。

    可检验 $$\{\varnothing,\Omega,\{1,2,3\},\{4,5,6\}\}$$ 为一满足所求之 $$\sigma$$-体。

    附带一提, 有没有其他包含 $$\{1,2,3\}$$ 之 $$\sigma$$-体呢? 有的, 譬如说,若加入一个元素 $$\{4\}$$,

    则得最小的 $$\sigma$$-体:

    $$\{\varnothing,\Omega,\{1,2,3\},\{4,5,6\},\{4\},\{1,2,3,4\},\{5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}$$

    例4:设 $$\Omega=R=\{-\infty,\infty\}$$,令 $$B’$$ 表包含实数上所有开区间之最小的 $$\sigma$$-体。此最小的 $$\sigma$$-体如何产生?只要取所有这种 $$\sigma$$-体之交集即可。$$B’$$ 亦包含诸如 $$\{a\}$$, $$[a,b)$$, $$(a,b]$$, $$[a,b]$$, 其中 $$a

    例5: 设 $$\Omega=\{1,2,3,4\}$$,且取 $$\sigma$$-体

    $$\mathcal{F}=\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2,3,4\}\}$$

    再令定义在 $$\mathcal{F}$$ 上的函数 $$P$$ 为

    $$P(\varnothing)=0,~P(\Omega)=1,~P(\{1\})=0.3,~P(\{2,3,4\})=0.7$$

    可验证 $$P$$ 为一机率函数。因此 $$(\Omega, \mathcal{F},P)$$ 便构成一机率空间。

    在上例中, 我们并不知 $$\{2\}$$, $$\{3\}$$, $$\{4\}$$ 等的机率。因三者皆不属于 $$\mathcal{F}$$, 不为事件。

    事实上, $$\Omega$$ 共有 $$16$$ 个子集, 其中有 $$12$$ 个因皆不属于 $$\mathcal{F}$$ ,故不用给其机率值。

    例6: 投掷一铜板 $$n$$ 次, 观测所得之正面数,则 $$\Omega=\{0,1,2,\cdots,n\}$$。

    令 $$\mathcal{F}$$ 表 $$\Omega$$ 之所有子集之集合, $$\mathcal{F}$$ 中共有 $$2^{n+1}$$ 个元素。

    再令 $$P(\{i\})=p_i,\ i=0,1,\cdots,n$$, 其中 $$p_i$$ 满足$$\sum^n_{i=0}p_i=1$$。

    又对 $$\forall A\in\mathcal{F}$$, 令 $$P(A)=\sum_{i\in A}p_i$$,则 $$\{\Omega, \mathcal{F}, P\}$$ 构成一机率空间。

    上例提供一个对可数的集合(有限或无限皆可),常见的定义机率空间之方式。 见下例。

    例7:令 $$\Omega=\{\omega_1, \omega_2,\cdots\}$$,$$\mathcal{F}$$ 取为 $$\Omega$$ 之所有子集之集合。

    又令函数 $$f(\omega_i)\ge 0,~i\ge 1,~\sum_{i=1}^{\infty}f(\omega_i)=1$$

    再令机率函数 $$P(A)=\sum_{\omega\in A}f(\omega),~A\in\mathcal{F}$$

    则 $$(\Omega,\mathcal{F},P)$$ 构成一机率空间。对这种 $$\Omega$$ 为可数的集合,称为离散型的机率空间。

    假设投掷一公正的骰子, 并观测所得点数。则对应上例, $$\displaystyle f(i)=\frac{1}{6},~i\in\Omega={1,2,3,4,5,6}$$

    假设投掷一出现正面机率为 $$\frac{1}{3}$$ 之铜板, 各次投掷间假设相互独立,直到出现一个正面才停止, 并记载总共之投掷数。

    则对应上例, $$\displaystyle f(n)=(\frac{2}{3})^{n-1}\frac{1}{3},~n\ge 1$$

    在例7中, 如果是投掷一出现正面机率为 $$p$$ 之铜板,且各次投掷间假设相互独立, 则

    $$f(i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i},~i\in\Omega={0,1,\cdots,n}$$

    例8:设 $$\Omega=R$$, 取 $$\mathcal{F}=B’$$,又令函数 $$f:R\rightarrow R$$, 且满足 $$f(x)\ge 0,~\int_{-\infty}^{\infty} f(x)d(x)=1$$

    再令 $$P([a,b])=\int^b_af(x)dx,a

    这种函数不少, 例如

    $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)},~x\in R$$

    $$\displaystyle f(x)\frac{1}{2}e^{-|x|},~x\in R$$

    连结:机率空间(5)以机率之名

    参考资料:



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